Задача № 167288
Каждая из функций и определена на всей числовой прямой и не является строго монотонной. Может ли быть, что и их сумма, и их разность строго монотонны на всей числовой прямой?
Олимпиадные задачи из источника «42 турнир (2020/2021 год)» - сложность 2 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 166907
Существует ли такое натуральное , что для любых вещественных чисел и найдутся вещественные числа , удовлетворяющие равенствам
Задача № 166903
В центре каждой клетки клетчатого прямоугольника расположена точечная лампочка, изначально все они погашены. За ход разрешается провести любую прямую, не задевающую лампочек, и зажечь все лампочки по какую-то одну сторону от этой прямой, если все они погашены. Каждым ходом должна зажигаться хотя бы одна лампочка. Требуется зажечь все лампочки, сделав как можно больше ходов. Какое максимальное число ходов удастся сделать, если а) – квадрат ; б) – прямоугольник ?
Задача № 166902
Путешественник прибыл на остров, где живут 50 аборигенов, каждый из которых либо рыцарь, либо лжец. Все аборигены встали в круг, и каждый назвал сначала возраст своего соседа слева, а потом возраст соседа справа. Известно, что каждый рыцарь назвал оба числа верно, а каждый лжец какой-то из возрастов (по своему выбору) увеличил на 1, а другой – уменьшил на 1. Всегда ли путешественник по высказываниям аборигенов сможет определить, кто из них рыцарь, а кто лжец?
Задача № 166901
Треугольник равносторонний. На сторонах и выбрали точки и , а на продолжении стороны – точку так, что . Точка – середина . Докажите, что угол прямой.
Задача № 166900
В комнате находится несколько детей и куча из 1000 конфет. Дети по очереди подходят к куче. Каждый подошедший делит количество конфет в куче на количество детей в комнате, округляет (если получилось нецелое), забирает полученное число конфет и выходит из комнаты. При этом мальчики округляют вверх, а девочки – вниз. Докажите, что суммарное количество конфет у мальчиков, когда все выйдут из комнаты, не зависит от порядка детей в очереди.
Задача № 166899
Число составное. Докажите, что если вписать в числе сколько угодно восьмёрок между и , тоже получится составное число.
Задача № 166897
Как известно, квадратное уравнение имеет не более двух корней. А может ли уравнение при иметь более 100 корней? ( обозначает наибольшее целое число, не превосходящее .)
Задача № 166896
При каких натуральных найдутся последовательных натуральных чисел, произведение которых равно сумме (может быть, других) последовательных натуральных чисел?
Задача № 166895
а) У Тани есть 4 одинаковые с виду гири, массы которых равны 1000, 1002, 1004 и 1005 г (неизвестно, где какая), и чашечные весы (показывающие, какая из двух чаш перевесила или что имеет место равенство). Может ли Таня за 4 взвешивания гарантированно определить, где какая гиря? (Следующее взвешивание выбирается по результатам прошедших.) б) Тот же вопрос, если у весов левая чашка на 1 г легче правой, так что весы показывают равенство, если масса на левой чашке на 1 г больше, чем на правой.
Задача № 166894
а) Выпуклый пятиугольник разбили непересекающимися диагоналями на три треугольника. Могут ли точки пересечения медиан этих треугольников лежать на одной прямой? б) Тот же вопрос для невыпуклого пятиугольника.
Задача № 166892
а) Можно ли разрезать квадрат на 4 равнобедренных треугольника, среди которых нет равных? б) А можно ли разрезать равносторонний треугольник на 4 равнобедренных треугольника, среди которых нет равных?
Задача № 166891
У Тани есть 4 одинаковые с виду гири, массы которых равны 1001, 1002, 1004 и 1005 г (неизвестно, где какая), и чашечные весы (показывающие, какая из двух чаш перевесила или что имеет место равенство). Может ли Таня за 4 взвешивания гарантированно определить, где какая гиря? (Следующее взвешивание выбирается по результатам прошедших.)
Задача № 166890
В треугольнике провели высоты и , а также биссектрисы и . Известно, что углы и равны. Обязательно ли треугольник равнобедренный?
Задача № 166889
Может ли произведение каких-то 9 последовательных натуральных чисел равняться сумме (может быть, других) 9 последовательных натуральных чисел?
Задача № 166882
Даны натуральных чисел. Боря для каждой пары этих чисел записал на чёрную доску их среднее арифметическое, а на белую доску — их среднее геометрическое, и для каждой пары хотя бы одно из этих двух средних было целым. Докажите, что хотя бы на одной из досок все числа целые.
Задача № 166875
Для всякого ли выпуклого четырёхугольника найдётся окружность, пересекающая каждую его сторону в двух внутренних точках?
Задача № 166871
На прямой отметили точки (именно в таком порядке) и построили на отрезках , , ..., как на основаниях равнобедренные треугольники с углом при вершинах. Оказалось, что все эти вершины лежат на полуокружности с диаметром . Найдите .
Задача № 166870
Каждый из квадратных трёхчленов , и с действительными коэффициентами имеет кратный корень. Обязательно ли все эти корни совпадают?
Задача № 166866
Группа из восьми теннисистов раз в год разыгрывала кубок по олимпийской системе (игроки по жребию делятся на 4 пары; выигравшие делятся по жребию на две пары, играющие в полуфинале; их победители играют финальную партию). Через несколько лет оказалось, что каждый с каждым сыграл ровно один раз. Докажите, что а) каждый побывал в полуфинале более одного раза; б) каждый побывал в финале.
Задача № 166865
На окружности отмечено 100 точек. Может ли при этом оказаться ровно 1000 прямоугольных треугольников, все вершины которых — отмеченные точки?