Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы»

Во всех клетках таблицы 20×20 расставлены плюсы. Разрешается менять знак одновременно во всех клетках строки или столбца.

Можно ли, пользуясь этими операциями, получить ровно 199 минусов?

Дан шестизначный номер телефона. Из скольких семизначных номеров его можно получить вычеркиванием одной цифры?

Двое играют в следующую игру. Каждый игрок по очереди вычеркивает 9 чисел (по своему выбору) из последовательности 1,2,...,100,101. После одиннадцати таких вычеркиваний останутся 2 числа. Первому игроку присуждается столько очков, какова разница между этими оставшимися числами. Доказать, что первый игрок всегда сможет набрать по крайней мере 55 очков, как бы ни играл второй.

В парламенте 30 депутатов. Каждые два из них либо дружат, либо враждуют, причём каждый дружит ровно с шестью другими. Каждые три депутата образуют комиссию. Найдите общее число комиссий, в которых все три члена попарно дружат или все трое попарно враждуют.

12 кандидатов в мэры рассказывали о себе. Через некоторое время один сказал: "До меня соврали один раз". Другой сказал: "А теперь -дважды". "А теперь - трижды" - сказал третий, и так далее до 12-го, который сказал: "А теперь соврали 12 раз". Тут ведущий прервал дискуссию. Оказалось, что по крайней мере один кандидат правильно посчитал, сколько раз соврали до него. Так сколько же раз всего соврали кандидаты?

В последовательности цифр 1234096... каждая цифра, начиная с пятой, равна последней цифре суммы предыдущих четырёх цифр.

Встретятся ли в этой последовательности подряд четыре цифры 8123?

На доске записано несколько нулей, единиц и двоек. Разрешается стереть две неравные цифры и записать вместо них одну цифру, отличную от стёртых. Докажите, что если в результате нескольких таких операций на доске останется одна-единственная цифра, то она не зависит от порядка, в котором производились стирания.

В дискуссии приняли участие 15 депутатов. Каждый из них в своем выступлении раскритиковал ровно <i>k</i> из оставшихся 14 депутатов. При каком наименьшем <i>k</i> можно утверждать, что найдутся два депутата, которые раскритиковали друг друга?

Можно ли расставить числа 1, 2, ..., 50 в вершинах и серединах сторон правильного 25-угольника так, чтобы сумма трёх чисел, стоящих в концах и середине каждой стороны, была для всех сторон одинаковой?

Найдите максимальное значение выражения  |...||<i>x</i>₁ – <i>x</i>₂| – <i>x</i>₃| – ... – <i>x</i>₁₉₉₀|,  где <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x</i>₁₉₉₀ – различные натуральные числа от 1 до 1990.

Найдите сумму всех коэффициентов многочлена  (<i>x</i>² – 3<i>x</i> + 1)¹⁰⁰  после раскрытия скобок и приведения подобных членов.

В последовательности троек целых чисел  (2, 3, 5),  (6, 15, 10), ... каждая тройка получается из предыдущей таким образом: первое число умножается на второе, второе – на третье, а третье – на первое, и полученные произведения дают новую тройку. Докажите, что ни одно из чисел, получаемых таким образом, не будет степенью целого числа: квадратом, кубом и т.д.

См. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/173546">173546</a> а).

Натуральные числа от 1 до n расставляются в ряд в произвольном порядке. Расстановка называется плохой, если в ней можно отметить 10 чисел (не обязательно стоящих подряд), идущих в порядке убывания. Остальные расстановки называются хорошими. Докажите, что количество хороших расстановок не превосходит 81ⁿ.

Антиквар приобрел 99 одинаковых по виду старинных монет. Ему сообщили, что ровно одна из монет - фальшивая - легче настоящих (а настоящие весят одинаково). Как, используя чашечные весы без гирь, за 7 взвешиваний выявить фальшивую монету, если антиквар не разрешает никакую монету взвешивать более двух раз?

За круглым столом сидят несколько гостей. Некоторые из них знакомы между собой; знакомство взаимно. Все знакомые любого гостя (считая его самого) сидят вокруг стола через равные промежутки. (Для другого человека эти промежутки могут быть другими.) Известно, что любые двое имеют хотя бы одного общего знакомого. Докажите, что все гости знакомы друг с другом.

Путешественник посетил селение, в котором каждый человек либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. Жители селения стали в круг, и каждый сказал путешественнику про соседа справа, правдив тот или лжив. На основании этих сообщений путешественник однозначно определил, какую долю от всех жителей селения составляют правдивые. Определите и вы, чему она равна.

Про действительные числа <i>a, b, c</i> известно, что  (<i>a + b + c</i>)<i>c</i> < 0.  Докажите, что  <i>b</i>² – 4<i>ac</i> > 0.

Является ли число  4⁹ + 6¹⁰ + 3²⁰  простым?

Дорога протяженностью 1 км полностью освещена фонарями, причем каждый фонарь освещает отрезок дороги длиной 1 м. Какое наибольшее количество фонарей может быть на дороге, если известно, что после выключения любого фонаря дорога будет освещена уже не полностью?

Вершины <i>A, B, C</i> треугольника соединены с точками <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁, лежащими на противоположных сторонах (не в вершинах).

Могут ли середины отрезков <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁, <i>CC</i>₁ лежать на одной прямой?

Какое максимальное число ладей можно расставить в кубе 8×8×8, чтобы они не били друг друга?

Точку внутри квадрата соединили с вершинами – получились четыре треугольника, один из которых равнобедренный с углами при основании (стороне квадрата) 15°. Докажите, что противоположный ему треугольник правильный.

9 кг ирисок стоят дешевле 10 рублей, а 10 кг тех же ирисок – дороже 11 рублей. Сколько стоит 1 кг этих ирисок?

Доказать, что квадрат натурального числа не может оканчиваться на две нечётные цифры.