Олимпиадная задача о правильном 25‑угольнике и равных суммах
Задача
Можно ли расставить числа 1, 2, ..., 50 в вершинах и серединах сторон правильного 25-угольника так, чтобы сумма трёх чисел, стоящих в концах и середине каждой стороны, была для всех сторон одинаковой?
Решение
Обозначим вершины 25-угольника A1, A2, ..., A25 по ходу часовой стрелки. Расставим числа 1, 2, ..., 25 по порядку в серединах сторон: в середине стороны A1A2 стоит число 1, в середине стороны A2A3 стоит число 2, и т.д. Числа 26, ..., 50 начнём расставлять с вершины A25 против часовой стрелки, пропуская каждый раз одну вершину: в вершине A25 – число 26, в вершине A23 – 27, в вершине A21 – 28 и т.д. Поскольку 25 – нечётное число, мы обойдём все вершины 25-угольника. Нетрудно проверить, что полученная расстановка – искомая.
Ответ
Можно.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь