Задача № 135003
В турнире по шахматам участвуют мастера спорта и кандидаты в мастера. Какое наименьшее число людей может участвовать в этом турнире, если известно, что среди них мастеров меньше половины, но больше 45%.
Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы»
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 135002
На плоскости дано n>4 точек. Известно, что любые 4 из них являются вершинами выпуклого четырехугольника. Докажите, что эти n точек являются вершинами выпуклого n-угольника.
Задача № 135001
На сторонах AB, BC, CA треугольника ABC выбраны соответственно точки C', A', B'. Докажите, что описанные окружности треугольников AB'C', BC'A', CA'B' проходят через одну точку.
Задача № 134999
Существует ли выпуклый многогранник, любое сечение которого плоскостью, не проходящей через вершину, является многоугольником с нечетным числом сторон?
Задача № 134998
Натуральный ряд 1, 2, 3, ... разбит на несколько (конечное число) арифметических прогрессий. Докажите, что хотя бы у одной из этих прогрессий первый член делится на разность.
Задача № 134997
Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют равенству ab = cd. Докажите, что число a2000 + b2000 + c2000 + d2000 составное.
Задача № 134996
Докажите, что площадь проекции куба с ребром 1 на любую плоскость численно равна длине его проекции на прямую, перпендикулярную этой плоскости.
Задача № 134995
Окружность пересекает сторону AB треугольника ABC в точках С1, С2, сторону BС – в точках A1, A2, сторону СA – в точках B1, B2. Известно, что перпендикуляры к сторонам AB, BC, CA, восставленные соответственно в точках С1, B1, A1, пересекаются в одной точке. Докажите, что перпендикуляры к сторонам AB, BC, CA, восставленные соответственно в точках С2, B2, A2, также пересекаются в одной точке.
Задача № 134994
Докажите, что уравнение x! y! = z! имеет бесконечно много решений в натуральных числах, больших 1.
Задача № 134993
Докажите, что нечётное число, являющееся произведением n различных простых сомножителей, можно представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел ровно 2n–1 различными способами.
Задача № 134992
Внутри квадрата отмечено 100 точек. Квадрат разбит на треугольники таким образом, что вершинами треугольников являются только отмеченные 100 точек и вершины квадрата, причём для каждого треугольника разбиения каждая отмеченная точка либо лежит вне этого треугольника, либо является его вершиной (разбиения такого типа называются триангуляциями). Найдите число треугольников разбиения.
Задача № 134991
На прямой дано 50 отрезков. Докажите, что либо некоторые восемь отрезков имеют общую точку, либо найдутся восемь отрезков, никакие два из которых не имеют общей точки.
Задача № 134990
Докажите, что для любого натурального n найдутся n подряд идущих составных натуральных чисел.
Задача № 134989
Солдаты построены в две шеренги по n человек, так что каждый солдат из первой шеренги не выше стоящего за ним солдата из второй шеренги. В шеренгах солдат выстроили по росту. Докажите, что после этого каждый солдат из первой шеренги также будет не выше стоящего за ним солдата из второй шеренги.
Задача № 134988
Докажите, что ни при каком натуральном m число 1998m – 1 не делится на 1000m – 1.
Задача № 134987
Существуют ли 100 таких прямоугольников, что ни один из них нельзя покрыть остальными 99-ю?
Задача № 134985
Клетки шахматной доски занумерованы числами от 1 до 32 так, что каждое число использовалось дважды. Докажите, что можно выбрать 32 клетки, занумерованные разными числами, так что на каждой вертикали и на каждой горизонтали найдется хотя бы по две выбранные клетки.
Задача № 134983
Длина каждой из диагоналей выпуклого четырехугольника больше 2. Докажите, что в этом четырехугольнике хотя бы одна сторона имеет длину, большую 21/2.
Задача № 134981
Известно, что в выпуклом n-угольнике (n > 3) никакие три диагонали не проходят через одну точку. Найдите число точек (отличных от вершины) пересечения пар диагоналей.
Задача № 134980
Шарообразная планета окружена 25 точечными астероидами. Доказать, что в любой момент на поверхности планеты найдётся точка, из которой астроном не сможет наблюдать более 11 астероидов.
Задача № 134979
Имеется набор натуральных чисел (известно, что чисел не меньше семи), причём сумма каждых семи из них меньше 15, а сумма всех чисел из набора равна 100. Какое наименьшее количество чисел может быть в наборе?
Задача № 134976
Двое бросают монету: один бросил ее 10 раз, другой – 11 раз. Чему равна вероятность того, что у второго монета упала орлом большее число раз, чем у первого?
Задача № 134975
Круг радиуса 1 покрыт семью одинаковыми кругами. Докажите, что их радиусы не меньше ½.
Задача № 134972
При каких n > 3 набор гирь с массами 1, 2, 3, ..., n граммов можно разложить на три равные по массе кучки?
Задача № 134971
Найдите все целые решения уравнения yk = x² + x, где k – фиксированное натуральное число, большее 1.
7401–7425 из 7538