Окружности в треугольнике ABC — олимпиадная геометрическая задача
Задача
На сторонах AB, BC, CA треугольника ABC выбраны соответственно точки C', A', B'. Докажите, что описанные окружности треугольников AB'C', BC'A', CA'B' проходят через одну точку.
Решение
Рассмотрим точку P пересечения описанных окружностей треугольников AB'C', BC'A', отличную от точки C'. Докажем, что окружность, описанная около треугольника CA'B' также пройдет через точку P. Предположим вначале, что точка P лежит внутри треугольника ABC. Тогда AB'PC' и BC'PA' - вписанные четырехугольники, поэтому сумма углов ВАС и B'PC', а также ABC и C'PA' равна 1800. Из того, что сумма углов ABC, BAC и BCA равна 1800(как сумма углов в треугольнике), а сумма углов B'PC', C'PA' и A'PB' равна 3600, следует, что сумма углов B'CA' и B'PA' равна 1800. Это означает, что четырехугольник B'PA'C вписанный, т.е. P принадлежит окружности, описанной около треугольника CA'B'. Другие случаи расположения точки P рассматриваются аналогично с использованием теоремы о сумме углов вписанного четырехугольника или теоремы о вписанных углах.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь