Задача № 215447
Докажите, что если выражение принимает рациональное значение, то и выражение также принимает рациональное значение.
Олимпиадные задачи по теме «Действительные числа» для 8 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 210212
При каких натуральных n найдутся такие положительные рациональные, но не целые числа a и b, что оба числа a + b и an + bn – целые?
Задача № 210047
Ненулевые числа a и b удовлетворяют равенству a²b²(a²b² + 4) = 2(a6 + b6). Докажите, что хотя бы одно из них иррационально.
Задача № 209715
Найдите сумму
Задача № 209704
Докажите, что при любом натуральном n справедливо неравенство
Задача № 207761
Бесконечная последовательность чисел xn определяется условиями: xn+1 = 1 – |1 – 2xn|, причём 0 ≤ x1 ≤ 1. Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая а) в том б) и только в том случае, когда x1 рационально.
Задача № 202797
Решить уравнение [x³] + [x²] + [x] = {x} − 1.
Задача № 198320
а) Квадрат разрезан на равные прямоугольные треугольники с катетами 3 и 4 каждый. Докажите, что число треугольников чётно. б) Прямоугольник разрезан на равные прямоугольные треугольники с катетами 1 и 2 каждый. Докажите, что число треугольников чётно.
Задача № 198298
В ряд выписаны действительные числа a1, a2, a3, ..., a1996. Докажите, что можно выделить одно или несколько стоящих рядом чисел так, что их сумма будет отличаться от целого числа меньше, чем на 0,001.
Задача № 198286
Дано n чисел, p – их произведение. Разность между p и каждым из этих чисел – нечётное число. Докажите, что все данные n чисел иррациональны.
Задача № 198221
{an} – последовательность чисел между 0 и 1, в которой следом за x идёт 1 – |1 – 2x|. а) Докажите, что если a1 рационально, то последовательность, начиная с некоторого места, периодическая. б) Докажите, что если последовательность, начиная с некоторого места, периодическая, то a1 рационально.
Задача № 198215
Бесконечная последовательность чисел xn определяется условиями: xn+1 = 1 – |1 – 2xn|, причём 0 ≤ x1 ≤ 1. а) Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая в том и только в том случае, когда x1 рационально. б) Сколько существует значений x1, для которых эта последовательность – периодическая с периодом T (для каждого T = 2, 3, ...)?
Задача № 198152
Числовая последовательность определяется условиями: Докажите, что среди членов этой последовательности бесконечно много полных квадратов.
Задача № 198049
Сколько существует таких пар натуральных чисел (m, n), каждое из которых не превышает 1000, что
Задача № 198025
Найти число решений в натуральных числах уравнения [x/10] = [x/11] + 1.
Задача № 198024
Решить в натуральных числах уравнение:
Задача № 197884
Последовательность чисел x1, x2, ... такова, что x1 = ½ и для всякого натурального k. Найдите целую часть суммы
Задача № 186505
Найдите все значения а, для которых выражения а + и 1/а – принимают целые значения.
Задача № 179391
Дано числоx, большее 1. Обязательно ли имеет место равенство [] = []?
Задача № 178650
Число 4 обладает тем свойством, что при делении его на q² остаток получается меньше q²/2, каково бы ни было q. Перечислить все числа, обладающие этим свойством.
Задача № 173620
Для любых натуральных чисел a1, a2, ..., am, никакие два из которых не равны друг другу и ни одно из которых не делится на квадрат натурального числа, большего единицы, а также для любых целых и отличных от нуля целых чисел b1, b2, ..., bm сумма не равна нулю. Докажите это.
Задача № 167513
Существует ли такое положительное число , что (Здесь — дробная часть числа , то есть разность между и ближайшим целым числом, не превосходящим .)
Задача № 167498
На доску записали числа , , ..., . Далее за ход стирают любые два числа и , где , и пишут вместо них одно число . После ходов на доске останется одно число. Каким наибольшим оно может быть? (Напомним, что — это наибольшее целое число, не превосходящее .)
Задача № 167400
На часах три стрелки, каждая вращается в ту же сторону, что и обычно, с постоянной ненулевой, но, возможно, неправильной скоростью. Утром длинная и короткая стрелки совпали. Ровно через 3 часа совпали длинная и средняя стрелки. Еще ровно через 4 часа совпали короткая и средняя стрелки. Обязательно ли когда-нибудь совпадут все три стрелки?
Задача № 167309
На каждой из 99 карточек написано действительное число. Все 99 чисел различны, а их общая сумма иррациональна. Стопка из 99 карточек называетсянеудачной, если для каждого натурального от 1 до 99 сумма чисел на верхних карточках иррациональна. Петя вычислил, сколькими способами можно сложить исходные карточки в неудачную стопку. Какое наименьшее значение он мог получить?
1–25 из 60