Задача № 211883
На доске написано натуральное число. Если на доске написано число x, то можно дописать на нее число 2x + 1 или x/x+2. В какой-то момент выяснилось, что на доске присутствует число 2008. Докажите, что оно там было с самого начала.
Олимпиадные задачи по теме «Дроби» - сложность 3-4 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 211849
Дима посчитал факториалы всех натуральных чисел от80 до 99, нашел числа, обратные к ним, и напечатал получившиеся десятичные дроби на 20 бесконечных ленточках (например, на последней ленточке было напечатано число =0, 10715.. ). Саша хочет вырезать из одной ленточки кусок, на котором записано N цифр подряд и нет запятой. При каком наибольшем N он сможет это сделать так, чтобы Дима не смог определить по этому куску, какую ленточку испортил Саша?
Задача № 211843
На доске написали 100 дробей, у которых в числителях стоят все числа от 1 до 100 по одному разу и в знаменателях стоят все числа от 1 до 100 по одному разу. Оказалось, что сумма этих дробей есть несократимая дробь со знаменателем 2. Докажите, что можно поменять местами числители двух дробей так, чтобы сумма стала несократимой дробью с нечётным знаменателем.
Задача № 211829
В бесконечной последовательности (xn) первый член x1 – рациональное число, большее 1, и xn+1 = xn + 1/[xn] при всех натуральных n. Докажите, что в этой последовательности есть целое число.
Задача № 211813
Даны положительные рациональные числа a, b. Один из корней трёхчлена x² – ax + b – рациональное число, в несократимой записи имеющее вид m/n. Докажите, что знаменатель хотя бы одного из чисел a и b (в несократимой записи) не меньше n2/3.
Задача № 211344
Натуральные числа покрашены в N цветов. Чисел каждого цвета бесконечно много. Известно, что цвет полусуммы двух различных чисел одной чётности зависит только от цветов слагаемых. а) Докажите, что полусумма чисел одной чётности одного цвета всегда окрашена в тот же цвет. б) При каких N такая раскраска возможна?
Задача № 210144
Для некоторых натуральных чисел a, b, c и d выполняются равенства a/c = b/d = ab+1/cd+1. Докажите, что a = c и b = d.
Задача № 210019
Имеется 40 одинаковых газовых баллонов, значения давления газа в которых нам неизвестны и могут быть различны. Разрешается соединять любые баллоны друг с другом в количестве, не превосходящем заданного натурального числа k, а затем разъединять их; при этом давление газа в соединяемых баллонах устанавливается равным среднему арифметическому давлений в них до соединения. При каком наименьшем k существует способ уравнивания давлений во всех 40 баллонах независимо от первоначального распределения давлений в баллонах?
Задача № 209924
Назовём сочетанием цифр несколько цифр, записанных подряд. В стране Роботландии некоторые сочетания цифр объявлены запрещёнными. Известно, что запрещённых сочетаний конечное число и существует бесконечная десятичная дробь, не содержащая запрещённых сочетаний. Докажите, что существует бесконечная периодическая десятичная дробь, не содержащая запрещённых сочетаний.
Задача № 209839
Сумма и произведение двух чисто периодических десятичных дробей – чисто периодические дроби с периодом T. Докажите, что исходные дроби имеют периоды не больше T.
Задача № 209790
Последовательность {an} строится следующим образом: a1 = p – простое число, имеющее ровно 300 ненулевых цифр, an+1 – период десятичной дроби 1/an, умноженный на 2. Найдите число a2003.
Задача № 209758
Докажите, что существует бесконечно много натуральных n, для которых числитель несократимой дроби, равной 1 + ½ + ... + 1/n, не является степенью простого числа с натуральным показателем.
Задача № 209612
Назовём натуральные числа похожими, если они записываются с помощью одного и того же набора цифр (например, для набора цифр 1, 1, 2 похожими будут числа 112, 121, 211). Докажите, что существуют такие три похожих 1995-значных числа, в записи которых нет нулей, что сумма двух из них равна третьему.
Задача № 209580
Имеется семь стаканов с водой: первый стакан заполнен водой наполовину, второй – на треть, третий – на четверть, четвёртый – на ⅕, пятый – на ⅛, шестой – на 1/9, и седьмой – на 1/10. Разрешается переливать всю воду из одного стакана в другой или переливать воду из одного стакана в другой до тех пор, пока он не заполнится доверху. Может ли после нескольких переливаний какой-нибудь стакан оказаться заполненным а) на 1/12; б) на ⅙?
Задача № 209196
В числе a = 0,12457... n-я цифра после запятой равна цифре слева от запятой в числе Докажите, что α – иррациональное число.
Задача № 209193
Пусть = , где – несократимая дробь. Докажите, что неравенство bn+1 < bn выполнено для бесконечного числа натуральных n.
Задача № 198253
а) Существуют ли такие натуральные числа a, b, c, что из двух чисел a/b + b/c + c/a и b/a + c/b + a/c ровно одно – целое? б) Докажите, что если они оба целые, то a = b = c.
Задача № 198247
Рассматривается последовательность, n-й член которой есть первая цифра числа 2n. Докажите, что количество различных "слов" длины 13 – наборов из 13 подряд идущих цифр – равно 57.
Задача № 198215
Бесконечная последовательность чисел xn определяется условиями: xn+1 = 1 – |1 – 2xn|, причём 0 ≤ x1 ≤ 1. а) Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая в том и только в том случае, когда x1 рационально. б) Сколько существует значений x1, для которых эта последовательность – периодическая с периодом T (для каждого T = 2, 3, ...)?
Задача № 198111
n школьников хотят разделить поровну m одинаковых шоколадок, при этом каждую шоколадку можно разломить не более одного раза. а) При каких n это возможно, если m = 9? б) При каких n и m это возможно?
Задача № 198093
На доске выписаны числа 1, ½, ⅓, ..., 1/100. Выбираем из написанных на доске два произвольных числа a и b, стираем их и пишем на доску число a + b + ab. Такую операцию проделываем 99 раз, пока не останется одно число. Какое это число? Найдите его и докажите, что оно не зависит от последовательности выбора чисел.
Задача № 198049
Сколько существует таких пар натуральных чисел (m, n), каждое из которых не превышает 1000, что
Задача № 179628
Прибор для сравнения чисел logab и logcd (a, b, c, d > 1) работает по правилам: если b > a и d > c, то он переходит к сравнению чисел logab/a и logcd/c если b < a и d < c, то он переходит к сравнению чисел logdc и logba; если (b − a)(d − c) ≤ 0, то он выдаёт ответ. а) Покажите, как прибор сравнит числа log2575 и log65260. б) Докажите, что любые два неравных логарифма он сравнит за конечное число шагов.
Задача № 179423
Найти все такие натуральные n, для которых числа 1/n и 1/n+1 выражаются конечными десятичными дробями.
Задача № 178839
Рассмотрим все рациональные числа между нулём и единицей, знаменатели которых не превосходят n, расположенные в порядке возрастания (ряд Фарея). Пусть a/b и c/d – какие-то два соседних числа (дроби несократимы). Доказать, что |bc – ad| = 1.
1–25 из 80