Задача № 216852
Сравните числа: А = 2011·20122012·201320132013 и В = 2013·20112011·201220122012.
Олимпиадные задачи по теме «Арифметические действия. Числовые тождества» для 9 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216710
В выражении 10 : 9 : 8 : 7 : 6 : 5 : 4 : 3 : 2 : 1 расставили скобки так, что в результате вычислений получилось целое число. Каким а) наибольшим; б) наименьшим может быть это число?
Задача № 216276
Докажите, что для любого натурального числа N найдутся такие две пары натуральных чисел, что суммы в парах одинаковы, а произведения отличаются ровно в N раз.
Задача № 215363
Существуют ли три попарно различных ненулевых целых числа, сумма которых равна нулю, а сумма тринадцатых степеней которых является квадратом некоторого натурального числа?
Задача № 211904
Используя в качестве чисел любое количество монет достоинством 1, 2, 5 и 10 рублей, а также (бесплатные) скобки и знаки четырех арифметических действий, составьте выражение со значением 2009, потратив как можно меньше денег.
Задача № 210005
Существуют ли 10 таких различных целых чисел, что все суммы, составленные из девяти из них – точные квадраты?
Задача № 209899
Мороженое стоит 2000 рублей. У Пети имеется 4005 – 399²·(400³ + 2·400² + 3·400 + 4) рублей. Достаточно ли у Пети денег на мороженое?
Задача № 208742
Доказать, что 7 + 7² + ... + 74K, где K – любое натуральное число, делится на 400.
Задача № 207851
Является ли число 49 + 610 + 320 простым?
Задача № 205151
Произведение пяти чисел не равно нулю. Каждое из этих чисел уменьшили на единицу, при этом их произведение не изменилось. Приведите пример таких чисел.
Задача № 204113
Условие 1:Среди чиселa,b,cесть два одинаковых. А оставшееся число -- другое. Составьте такое арифметическое выражение из буквa,b,c, знаков +, -, ×, : и скобок, чтобы в результате вычислений получилось это число. (Скобки, знаки и буквы можно использовать любое количество раз.) Условие 2:Среди чиселa,b,cесть два одинаковых. А оставшееся число -- другое. Составьте такое арифметическое выражение из буквa,b,c, знаков +, -, ×, : и скобок, чтобы в результате вычислений получилось это число. (Скобки, знаки и буквы можно использовать любое количество раз.)
Задача № 202793
Целое число.Доказать, что если- целое число, то- тоже целое число.
Задача № 197986
Существует ли такое натуральное число M, что никакое натуральное число, десятичная запись которого состоит лишь из нулей и не более чем 1988 единиц, не делится на M?
Задача № 179538
Калькулятор выполняет пять операций: сложение, вычитание, умножение, деление и извлечение квадратного корня. Найдите формулу, по которой на этом калькуляторе можно определить наименьшее из двух произвольных чиселaиb.
Задача № 179432
Может ли квадрат какого-либо натурального числа начинаться с 1983 девяток?
Задача № 179406
Петя купил в магазине "Машины Тьюринга и другие вычислительные устройства" микрокалькулятор, который может выполнять следующие операции: по любым числамxиyон вычисляетx+y,x−yи(приx≠ 0). Петя утверждает, что он может возвести любое положительное число в квадрат с помощью своего микрокалькулятора, сделав не более 6 операций. А вы можете это сделать? Если да, то попробуйте перемножить любые два положительных числа, сделав не более 20 операций (промежуточные результаты можно записывать, неоднократно используя их в вычислениях).
Задача № 179338
Докажите, что можно найти более тысячи троек натуральных чиселa,b,c, для которых выполняется равенствоa15+b15=c16.
Задача № 178279
Доказать, что для любого целогоdнайдутся такие целыеm,n, что d = .
Задача № 177942
Докажите тождество (ax + by + cz + du)2 + (bx + cy + dz + au)2 + (cx + dy + az + bu)2 + + (dx + ay + bz + cu)2 = = (dx + cy + bz + au)2 + (cx + by + az + du)2 + (bx + ay + dz + cu)2 + + (ax + dy + cz + bu)2.
Задача № 167503
Найдите наименьшее натуральное число, у которого найдутся четыре различных натуральных делителя с суммой 2025.
Задача № 167484
Барон Мюнхгаузен взял несколько карточек и написал на каждой по натуральному числу (числа могут повторяться). Барон утверждает, что использовал только две различные цифры, зато когда он для каждой пары карточек нашёл сумму чисел на них, то среди первых цифр этих сумм встретились все цифры от 1 до 9. Могут ли слова барона быть правдой?
Задача № 167463
Между двумя восьмёрками в числе 88 вписали несколько нулей. Докажите, что можно всегда дописать слева в начало нового числа ещё несколько цифр так, чтобы получилось число, которое является полным кубом.
Задача № 167443
На доске написаны два натуральных числа, одно из которых получается из другого перестановкой цифр. Может ли их разность равняться ? (Запись натурального числа не может начинаться с нуля.)
Задача № 167418
Если Вася делит пирог или кусок пирога на две части, то всегда делает их равными по массе. А если делит на большее число частей, то может сделать их какими угодно, но обязательно все разной массы. За несколько таких дележей Вася разрезал пирог на 17 частей. Могли ли все части оказаться равными по массе? (Объединять части нельзя.)
Задача № 167183
Саша записывает числа 1, 2, 3, 4, 5 в каком-нибудь порядке, расставляет знаки арифметических операций «», «», «» и скобки и смотрит на результат полученного выражения. Например, он может получить число 8 с помощью выражения . Может ли он получить число 123? Формировать числа из нескольких других нельзя (например, из чисел 1 и 2 нельзя составить число 12).
1–25 из 38