Задача № 210046
Клетки таблицы 200×200 окрашены в чёрный и белый цвета так, что чёрных клеток на 404 больше, чем белых. Докажите, что найдётся квадрат 2×2, в котором число белых клеток нечётно.
Черепанов Е.
6 задачЗадача № 210005
Существуют ли 10 таких различных целых чисел, что все суммы, составленные из девяти из них – точные квадраты?
Задача № 209776
У Ани и Бори было по длинной полосе бумаги. На одной из них была написана буква А, на другой – Б. Каждую минуту один из них (не обязательно по очереди) приписывает справа или слева к слову на своей полосе слово с полосы другого. Докажите, что через сутки слово с Аниной полосы можно будет разрезать на 2 части и переставить их местами так, что получится то же слово, записанное в обратном порядке.
Задача № 198555
На координатной плоскости расположили треугольник так, что его сдвиги на векторы с целочисленными координатами не перекрываются. а) Может ли площадь такого треугольника быть больше ½? б) Найдите наибольшую возможную площадь такого треугольника.
Задача № 198455
Пусть ABC – остроугольный треугольник, C' и A' – произвольные точки на сторонах AB и BC соответственно, B' – середина стороны AC. а) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' не больше половины площади треугольника ABC. б) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' равна четверти площади треугольника ABC тогда и только тогда, когда хотя бы одна из точек A', C' совпадает с серединой соответствующей стороны.
Задача № 135558
Пусть M – конечное множество чисел. Известно, что среди любых трёх его элементов найдутся два, сумма которых принадлежит M. Какое наибольшее число элементов может быть в M?