Задача № 207866
Решите в натуральных числах уравнение 3x + 4y = 5z.
Сендеров В. А.
90 задачЗадача № 207818
Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных чисел n, что число n представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел, а числа n – 1 и n + 1 – нет.
Задача № 207814
Докажите, что для любого многочлена P(x) степени n с натуральными коэффициентами найдется такое целое число k, что числа P(k), P(k + 1), ..., P(k + 1996) будут составными, если а) n = 1; б) n – произвольное натуральное число.
Задача № 207795
Доказать, что существует бесконечно много таких составных n, что 3n–1 – 2n–1 кратно n.
Задача № 205168
Дано равенство (am1 – 1)...(amn – 1) = (ak1 + 1)...(akl + 1), где a, n, l и все показатели степени – натуральные числа, причём a > 1. Найдите все возможные значения числа a.
Задача № 205129
Найдите все целые числа x и y, удовлетворяющие уравнению x4 – 2y² = 1.
Задача № 205127
Пусть a, b, c – стороны треугольника. Докажите неравенство a³ + b³ + 3abc > c³.
Задача № 205110
Приведите пример многочлена P(x) степени 2001, для которого P(x) + P(1 – x) ≡ 1.
Задача № 205070
Решите в натуральных числах уравнение (1 + nk)l = 1 + nm, где l > 1.
Задача № 205065
a, b, c – стороны треугольника. Докажите неравенство
Задача № 205049
Найдите какие-нибудь четыре попарно различных натуральных числа a, b, c, d, для которых числа a² + 2cd + b² и c² + 2ab + d² являются полными квадратами.
Задача № 198579
Существуют ли такие иррациональные числа a и b, что a > 1, b > 1, и [am] отлично от [bn] при любых натуральных числах m и n?
Задача № 198533
Cлава перемножил первые n натуральных чисел, а Валера перемножил первые m чётных натуральных чисел (n и m больше 1). В результате у них получилось одно и то же число. Докажите, что хотя бы один из мальчиков ошибся.
Задача № 198497
Натуральные числа a, b, c, d таковы, что наименьшее общее кратное этих чисел равно a + b + c + d. Докажите, что abcd делится на 3 или на 5 (или на то и другое).
Задача № 198450
Докажите, что существует бесконечно много нечётных n, для которых число 2n + n – составное.
Задача № 198445
Рассматриваются тройки целых чисел a, b и c, для которых выполнено условие: a + b + c = 0. Для каждой такой тройки вычисляется число d = a1999 + b1999 + c1999. Может ли случиться, что а) d = 2? б) d – простое число?
Задача № 198427
В ряд стоят 1999 чисел. Первое число равно 1. Известно, что каждое число, кроме первого и последнего, равно сумме двух соседних. Найдите последнее число.
Задача № 198386
В треугольнике ABC отрезки CM и BN – медианы, P и Q – точки соответственно на AB и AC такие, что биссектриса угла C треугольника одновременно является биссектрисой угла MCP, а биссектриса угла B – биссектрисой угла NBQ. Можно ли утверждать, что треугольник ABC равнобедренный, если а) BP = CQ; б) AP = AQ; в) PQ || BC?
Задача № 198379
CM и BN – медианы треугольника ABC, P и Q – такие точки соответственно на AB и AC, что биссектриса угла C треугольника одновременно является биссектрисой угла MCP, а биссектриса угла B – биссектрисой угла NBQ. Оказалось, что AP = AQ. Следует ли из этого, что треугольник ABC равнобедренный?
Задача № 198355
Пусть 1 + x + x² + ... + xn–1 = F(x)G(x), где F и G – многочлены, коэффициенты которых – нули и единицы (n > 1). Докажите, что один из многочленов F, G представим в виде (1 + x + x² + ... + xk–1)T(x), где T(x) – также многочлен с коэффициентами 0 и 1 (k > 1).
Задача № 198328
а) Докажите для всех n > 2 неравенство б) Найдите какие-нибудь такие натуральные числа a, b, c, что для всех n > 2
Задача № 198319
Докажите неравенство
Задача № 198318
Существуют ли три таких различных простых числа p, q, r, что p² + d делится на qr, q² + d делится на rp, r² + d делится на pq, если а) d = 10, б) d =11?
Задача № 198311
Докажите, что существует бесконечно много таких троек чисел n – 1, n, n + 1, что: a) n представимо в виде суммы двух квадратов натуральных (целых положительных) чисел, а n – 1 и n + 1 – нет; б) каждое из трёх чисел представимо в виде суммы двух квадратов натуральных чисел.
Задача № 198292
Существует ли такое число n , что числа а) n – 96, n, n + 96; б) n – 1996, n, n + 1996 простые? (Все простые числа считаем положительными.)
Задача № 198282
а) Существуют ли четыре таких различных натуральных числа, что сумма каждых трёх из них есть простое число? б) Существуют ли пять таких различных натуральных чисел, что сумма каждых трёх из них есть простое число?
Задача № 198263
Докажите, что число вида a0...09 – не полный квадрат (при любом числе нулей, начиная с одного; a – цифра, отличная от 0).
Задача № 198252
Докажите, что число 40...09 – не полный квадрат (при любом числе нулей, начиная с 1).
Задача № 198137
Докажите, что произведение всех целых чисел от 21917 + 1 до 21991 – 1 включительно не есть квадрат целого числа.
Задача № 198129
Пусть m, n и k – натуральные числа, причём m > n. Какое из двух чисел больше: или (В каждом выражении k знаков квадратного корня, m и n чередуются.)
Задача № 197944
Даны три неотрицательных числа a, b, c. Про них известно, что a4 + b4 + c4 ≤ 2(a²b² + b²c² + c²a²). а) Докажите, что каждое из них не больше суммы двух других. б) Докажите, что a² + b² + c² ≤ 2(ab + bc + ca). в) Следует ли из неравенства пункта б) исходное неравенство?
Задача № 166014
Существует ли треугольник, для сторон x, y, z которого выполнено соотношение x³ + y³ + z³ = (x + y)(y + z)(z + x)?
Задача № 165931
Дан треугольник ABC, все углы которого меньше φ, где φ < 2π/3. Докажите, что в пространстве существует точка, из которой все стороны треугольника ABC видны под углом φ.
Задача № 165242
Назовём натуральное число почти квадратом, если оно равно произведению двух последовательных натуральных чисел. Докажите, что каждый почти квадрат можно представить в виде частного двух почти квадратов.
Задача № 165237
Натуральные числа a, x и y, большие 100, таковы, что y² – 1 = a²(x² – 1). Какое наименьшее значение может принимать дробь a/x?
Задача № 165119
Целые числа a, x1, x2, ..., x13 таковы, что a = (1 + x1)(1 + x2)...(1 + x13) = (1 – x1)(1 – x2)...(1 – x13). Докажите, что ax1x2...x13 = 0.
Задача № 164627
Стозначное натуральное число n назовём необычным, если десятичная запись числа n³ заканчивается на n, а десятичная запись числа n² не заканчивается на n. Докажите, что существует не менее двух стозначных необычных чисел.
Задача № 164361
Найдите все такие натуральные k, что произведение первых k нечётных простых чисел, уменьшенное на 1, является точной степенью натурального числа (большей, чем первая).
Задача № 164355
Существует ли такое натуральное n, что для любых ненулевых цифр a и b число anb делится на ab ? (Через x...y обозначено число, получаемое приписыванием друг к другу десятичных записей чисел x, ..., y.)
Задача № 164353
Найдите все такие натуральные k, что произведение первых k простых чисел, уменьшенное на 1, является точной степенью натурального числа (большей чем первая).
Задача № 155490
Две равные окружности касаются друг друга. Постройте такую трапецию, что каждая из окружностей касается трёх её сторон, а центры окружностей лежат на диагоналях трапеции.
Задача № 154651
Дана полуокружность с диаметром AB. С помощью циркуля и линейки постройте хорду MN, параллельную AB, так, чтобы трапеция AMNB была описанной.