Задача по олимпиадной геометрии: хорда MN в полуокружности AB
Нет ответа
Задача
Дана полуокружность с диаметром AB. С помощью циркуля и линейки постройте хорду MN, параллельную AB, так, чтобы трапеция AMNB была описанной.
Решение
Предположим, что нужная трапеция AMNB построена. Пусть P — проекция вершины N на AB (рис.1). Тогда
AP = $\displaystyle {\frac{MN + AB}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{AM + BN}{2}}$ = BN
(трапецияAMNB— равнобедренная, т.к. она вписана в окружность).
С другой стороны, поскольку треугольник ANB прямоугольный, то
AP2 = BN2 = AB . BP = AB(AB - AP), или AP2 + AP . AB - AB2 = 0.
Отсюда находим, чтоAP=AB . ${\frac{\sqrt{5} - 1}{2}}$.
Для построения искомого отрезка AP (рис.2) на перпендикуляре,
к данному отрезку AB, проходящем через точку B, отложим отрезок
BD, равный
${\frac{1}{2}}$AB, и на луче DA отложим отрезок DE,
равный BD. Тогда
AE = AD - DE = $\displaystyle \sqrt{AB^{2} + \frac{AB^{2}}{4}}$ - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AB = AB . $\displaystyle {\frac{\sqrt{5}}{2}}$ - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AB = AB . $\displaystyle {\frac{\sqrt{5} - 1}{2}}$.
На отрезкеABотметим такую точкуP, чтоAP=AE. Тогда перпендикуляр
кAB, проведённый через точкуP, пересекает данную полуокружность
в точкеN— вершине искомой трапеции.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет