Олимпиадная задача от Сендерова В. А.: трапеция, касающаяся двух равны
Нет ответа
Задача
Две равные окружности касаются друг друга. Постройте такую трапецию, что каждая из окружностей касается трёх её сторон, а центры окружностей лежат на диагоналях трапеции.
Решение
Предположим, что нужная трапеция ABCD построена. Пусть O1 и O2 — центры данных окружностей, принадлежащие диагоналям AC и BD соответственно, R — радиус окружностей, AD и BC — основания трапеции (AD > BC). Тогда
2R = O1O2 = $\displaystyle {\frac{AD - BC}{2}}$.
ПосколькуACиBD— биссектрисы угловAиDтрапеции, тоAB=BC=CD. Поэтому трапеция — равнобедренная.
ПустьP— проекция вершиныBнаAD. Тогда
AP = $\displaystyle {\frac{AD - BC}{2}}$ = 2R = BP.
Следовательно,
$\displaystyle \angle$A = $\displaystyle \angle$D = 45o.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет