Олимпиадная задача по планиметрии: геометрическое место точек в квадрате (Френкин Б. Р.)
Дан квадрат. Найдите геометрическое место середин гипотенуз прямоугольных треугольников, вершины которых лежат на попарно различных сторонах квадрата и не совпадают с его вершинами.
Показать ответ
Все точки криволинейного восьмиугольника, ограниченного дугами восьми парабол с фокусами в вершинах квадрата и директрисами, содержащими несмежную сторону, кроме середин сторон квадрата (см. рис.).
Разобрать решение
Ясно, что середина гипотенузы лежит внутри квадрата. Если концы гипотенузы лежат на противоположных сторонах квадрата, то её середина лежит на соответствующей средней линии. Пусть теперь концы X и Y гипотенузы треугольника XYZ принадлежат соответственно сторонам AB и AD квадрата ABCD, а вершина Z – стороне BC (см. рис.). Обозначим через O середину XY. Точки A и Z лежат на окружности с диаметром XY; поэтому
OA = OX = OY = OZ, и расстояние от O до A меньше, чем до других вершин квадрата, но не меньше, чем расстояние от O до прямой BC.
Геометрическим местом точек, равноудаленных от A и BC, является парабола с фокусом A и директрисой BC (вершиной этой параболы является середина AB). Значит, точка O лежит между BC и этой параболой в четверти квадрата, содержащей A. При этом точка O может попасть на параболу, но не может – на среднюю линию (иначе точка Y совпадёт с B).
Рассмотрев аналогично другие случаи расположения вершин треугольника и объединив полученные области, получим криволинейный восьмиугольникP, ограниченный дугами восьми парабол. ВершинамиPявляются середины сторон квадрата (они не лежат в ГМТ) и точки пересечения парабол с его диагоналями. При этом средние линии квадрата лежат вP; значит, и искомое ГМТ содержится в нём. Осталось показать, что любая точкаOэтого восьмиугольника, кроме середин сторон квадрата, принадлежит ГМТ. ЕслиOлежит на средней линии, параллельнойAB, и расстояние от неё доADне превосходит расстояния доBC, то можно в качестве концов гипотенузыXиYвзять проекцииOнаABиCD, а в качестве вершины прямого угла – одну из точек пересечения окружности с диаметромXYи стороныAD. Если же точкаOлежит в четверти квадрата, содержащейA, между параболой с фокусомAи директрисойBCи соответствующей средней линией, то в качествеXиYвозьмём вторые точки пересечения окружности с центромOи радиусомOA, а в качествеZ– точку пересечения этой окружности со сторонойBC(такая точка существует, так как расстояние отOдоBCне превосходитOA, а расстояния до точекBиC– превосходят).
Обсуждение
0Комментариев пока нет.