Олимпиадная задача по комбинаторной геометрии о покрытии куба прямоугольниками Шаповалова
При каких n можно оклеить в один слой поверхность клетчатого куба n×n×n бумажными прямоугольниками 1×2 так, чтобы каждый прямоугольник граничил по отрезкам сторон ровно с пятью другими?
Показать ответ
При всех чётныхn.
Разобрать решение
Куб 2×2×2 так оклеить можно (см. угловой кубик на рисунке). Если n чётно, разобьём куб n×n×n на кубики 2×2×2 и окрасим их в шахматном порядке. Заменим эти кубики на оклеенные указанным образом, причём будем располагать их так, что на верхних гранях чёрных кубиков длинные стороны прямоугольников идут в одном направлении, а на верхних гранях белых – в другом. Тогда каждый прямоугольник и будет граничить с пятью другими (см. рисунок).
При нечётныхnобщее число прямоугольников равно 3n², то есть нечётно. Поэтому у какого-то из них число соседей должно быть чётным (см. задачу[187972](https://mirolimp.ru/tasks/187972)). Значит, требуемая оклейка невозможна.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.