Олимпиадная задача по планиметрии для 8–10 классов от Канель-Белова А. Я.: неравенство для выпуклого пятиугольника

  Пусть A₁A₂A₃A₄A₅ – исходный пятиугольник, B₁B₂B₃B₄B₅ – пятиугольник, образованный его диагоналями, а C₁C₂C₃C₄C₅ – пятиугольник, образованный диагоналями B₁B₂B₃B₄B₅ (см. рис.). Продолжим нумерацию вершин циклически (то есть  A_i+5 = A_i  и т.д.).

  Заметим, что  N'= (S_B1B₂B₃+S_B2B₃B₄+ ... +S_B5B₁B₂) –S_B1B₂B₃B₄B₅,  поскольку в сумме справа пятиугольникC₁C₂C₃C₄C₅учтён с коэффициентом –1, треугольники видаB_iB_i+1C_i+3– с коэффициентом 1, а треугольники видаC_iC_i+1B_i+3– с нулевым коэффициентом. Значит, требуемое неравенство равносильно неравенству  S_A1A₂B₄+S_A2A₃B₅+ ... +S_A5A₁B₃>S_B1B₂B₃+S_B2B₃B₄+ ... +S_B5B₁B₂.  Докажем, что  S_AiA_i+1B_i+3>S_Bi+2B_i+3B_i+4.    Ясно, что достаточно это доказать при  i= 1.  Присоединив к каждому из треугольниковA₁A₂B₄иB₃B₄B₅треугольникA₁B₃B₄, получим треугольникиA₁B₃A₂иA₁B₃B₅с общим основаниемA₁B₃. При этом расстояние от точкиB₅до этого основания меньше, чем от точкиA₂; значит,  S_A1A₂B₃>S_A1B₃B₅.