Олимпиадная задача по планиметрии: радиус описанной окружности треугольника CMN
Дан равнобедренный треугольник ABC, в котором BC = a, AB = AC = b. На стороне AC во внешнюю сторону построен треугольник ADC, в котором
AD = DC = a. Пусть CM и CN – биссектрисы в треугольниках ABC и ADC соответственно. Найдите радиус описанной окружности треугольника CMN.
Показать ответ
ab/a+b .
Разобрать решение
Пусть K – такая точка на отрезке AC, что MK || BC. Тогда ∠MCA = ∠MCB = ∠CMK, поэтому MK = KC; кроме того, из симметрии KC = MB. По теореме Фалеса и свойству биссектрисы CK : AK = BM : AM = a : b = DN : AN. Следовательно, KN || CD; аналогично предыдущему, KN = KC. Таким образом, K – центр описанной окружности треугольника CMN, а её радиус KC = MB = ab/a+b (см. рис.).
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.