Олимпиадная задача по планиметрии: угол в треугольнике AMC, 9–10 класс

  Из равенства площадей треугольника AMC и четырёхугольника LBKM следует равенство площадей треугольников ACK и CBL (см. рис.).

  Учитывая равенство сторон и углов в равностороннем треугольнике, получим, что  CK = LB.  Далее можно рассуждать по разному.  Первый способ. ТреугольникиACKиCBLравны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,  ∠CKA= ∠BLC.  Поэтому ∠AMC= 180° – ∠MCA– ∠MAC= 120°.  Второй способ. При повороте вокруг центра равностороннего треугольникаABCна угол 120° точкаAпереходит в точкуC, а точкаK– в точкуL, то есть отрезокAKпереходит в отрезокCL. Следовательно,  ∠AMC= 120°.