Олимпиадная задача по стереометрии и комбинаторной геометрии для 10-11 классов: многогранник и сфера

  а) Рассмотрим правильную треугольную призму с квадратными боковыми гранями. Отметим на каждом ребре точки, делящие его на три равные части. Очевидно, эти точки равноудалены от центра призмы, то есть лежат на сфере соответствующего радиуса.   б) Пусть A₁...A_n – одна из граней многогранника. Все точки B_i, C_i, делящие его стороны A_i–1A_i на три равные части, лежат на одной окружности (пересечении сферы с плоскостью грани) с центром O. Пусть  A_i–1A_i = 3a,  A_iA_i+1 = 3b.  По теореме о секущей  A_iB_i·A_iC_i = A_iB_i+1·A_iC_i+1,  то есть

2a² = 2b²  ⇔  a = b.  Значит, все стороны грани равны. Поэтому равны и все отрезки B_iC_i и равнобедренные треугольники B_iOC_i. Следовательно, равны все треугольники вида B_iOA_i, углы B_iA_iO и углы  ∠A_i–1A_iA_i+1 = 2∠B_iA_iO.