Планиметрия. Олимпиадная задача про биссектрису и высоту в треугольнике (8-10 класс)

Решение 1:Из точки D опустим перпендикуляры DM, DN и DK на прямые АС, АВ и ВE соответственно (см. рис.).

Так как AD – биссектриса, то  DM = DN > DK  (все перпендикуляры лежат внутри треугольника АВС, поскольку он остроугольный). Так как DMEK – прямоугольник, то  ∠CED > 45°.

Решение 2:Проведём биссектрису прямого угла ВЕС (см. рис.). Пусть она пересечёт луч AD в точке О. Достаточно показать, что  ∠CED > ∠СЕО,  то есть что точка О лежит вне треугольника АВС.

Заметим, чтоО– центр вневписанной окружности треугольникаАВЕ, так как является пересечением его внутренней и внешней биссектрис. Значит,ВО– также биссектриса внешнего угла этого треугольника. Тогда  ∠АВО= ∠АВЕ+ ∠EВO= 90° – ∠А+ ½ (90° + ∠А) = 135° – ½ ∠А> 90° > ∠B,  так как углыАиВ– острые. Следовательно, точкаОдействительно лежит вне треугольникаАВС.