Олимпиадная задача по теории чисел для 9-10 классов от Агаханова Н. Х.

   Предположим, что такое число n существует.   Максимальный возможный остаток от деления на натуральное число m равен  m – 1.  Поэтому сумма остатков от деления произвольного числа на числа  a₁, ..., a₁₁  не больше чем  407 – 11 = 396,  а сумма остатков от деления его на числа  4a₁, 4a₂, ..., 4a₁₁  не больше, чем  4·407 – 11 = 1617.  Если бы все остатки были максимальными возможными, то их сумма равнялась бы  396 + 1617 = 2013.  Поскольку эта сумма для нашего числа n равна 2012, то все остатки, кроме одного, – максимальные возможные, а один – на единицу меньше максимального возможного.

   Значит, при некотором k один из остатков от деления n на числа a_k и 4a_k – максимальный возможный, а другой – на единицу меньше максимального возможного. Тогда одно из чисел  n + 1  и  n + 2  делится на a_k, а другое – на 4a_k, то есть два взаимно простых числа  n + 1  и  n + 2  делятся на  a_k ≥ 2.  Это невозможно.