Олимпиадная задача по планиметрии для 8–9 классов от Блинкова Ю. А.

  Из равенства сторон AB и BC и параллельности BC и AD следует, что AC – биссектриса угла BAD (см. рис.).

  Так как треугольникABD– равнобедренный, тоDM– биссектриса углаADB. Пусть ∠BAD= ∠BDA= ∠DBC= 2α.   Далее можно рассуждать по-разному:   Первый способ. Из равнобедренного треугольника BCD получим, что  ∠CDB = 90° – α.  Тогда ∠CDM = ∠CDB + ∠MDB = 90°.   Второй способ. Поскольку  ∠BDM = ∠BAM = ∠BCM = α,  то четырёхугольник BCDM – вписанный и  ∠CDM = 180° – ∠MBC = 90°.   Третий способ. Аналогично началу решения покажем, что DC – биссектриса внешнего угла D. А биссектрисы внутреннего и внешнего углов перпендикулярны.