Олимпиадная задача по планиметрии: пары точек и прямые в круге, Шаповалов, 10–11 класс
Внутри круга отмечены 100 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой.
Докажите, что их можно разбить на пары и провести прямую через каждую пару так, чтобы все точки пересечения прямых были в круге.
Разобрать решение
Разобьём точки на пары так, чтобы сумма длин соответствующих отрезков была максимальной. Допустим, для пар точек (A, B) и (C, D) прямые AB и CD пересекаются вне круга (см. рис.).
Тогда четырёхугольникABCD– выпуклый, AC + BD > AB + CD (см. задачу[155152](https://mirolimp.ru/tasks/155152)), то есть, разбив на пары по-другому, мы получили бы большую сумму длин отрезков. Противоречие.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.