Олимпиадная задача по стереометрии и комбинаторной геометрии для 10-11 классов: равные рёбра выпуклого многогранника

Решение 1:Предположим, что это не так. Рассмотрим грань A₁A₂...A_n, в которой есть два равных ребра A₁A₂ и A₂A₃, выходящие из одной вершины (по условию такая грань существут). Рассмотрим также рёбра A_iB_i, не лежащие в этой грани (некоторые точки B_i могут совпадать). По предположению  A₃A₄ ≠ A₃A₂,  A₃B₃ ≠ A₃A₂,  следовательно,  A₃B₃ = A₃A₄.  Далее A₄A₅ ≠ A₄A₃,  A₄B₄ ≠ A₄A₃,  значит,  A₄A₅ = A₄B₄.  Продолжая, получим, что  A₁A₂ = A₁B₁.  Противоречие.

Решение 2:Пусть есть n вершин, тогда рёбер ³ⁿ/₂. Для каждой вершины выберем пару равных рёбер с общим концом в этой вершине, всего n пар. Если все пары различны, то в них уже 2n > ³ⁿ/₂ рёбер. Противоречие.