Олимпиадная задача по теории чисел для 11 класса от Бегунца А. В.: последовательности с приписыванием цифр
К каждому члену некоторой конечной последовательности подряд идущих натуральных чисел приписали справа по две цифры и получили последовательность квадратов подряд идущих натуральных чисел. Какое наибольшее число членов могла иметь эта последовательность?
Показать ответ
19 членов.
Разобрать решение
Предположим, что в исходной последовательности не менее 20 членов. Тогда среди соответствующих последовательных квадратов найдутся два квадрата чисел, кратных 10: (10b)² и (10b + 10)². Убрав последние два нуля мы обнаружим в исходной последовательности члены an = b²,
an+10 = b² + 2b + 1. Отсюда 2b + 1 = an+10 – an = 10. Противоречие.
Пример подходящей последовательности из 19 членов: 16, 17, ..., 34; соответствующие квадраты: 41² = 1681, 42² = 1764, ..., 59² = 3481.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.