Олимпиадная задача по планиметрии и анализу для 10 класса от Заславского А. А.

  Проведём через ортоцентр H треугольника ABC прямую m, параллельную l. Прямые m_a, m_b и m_c, симметричные m относительно соответствующих сторон, пересекаются в точке I_m, лежащей на описанной окружности Ω треугольника ABC (см. задачу 155657). Пусть расстояние между m и l равно r (то есть l касается окружности радиуса r с центром H). Тогда точка I_m находится на расстоянии r от прямых l_a, l_b и l_c, то есть является центром либо вписанной, либо вневписанной окружности ω_l (радиуса r) образованного ими треугольника Δ_l. Докажем, что это именно вписанная окружность, то есть I_m совпадает с I_l.

   Будем вращать пару прямых m и l вокруг точки H, сохраняя расстояние между ними. Как точка I_m, так и вершины треугольника Δ_l непрерывно зависят от угла поворота. При непрерывном изменении вписанная окружность постоянного радиуса не может превратиться во вневписанную. По тем же соображениям окружность останется вписанной, если мы, сохраняя положение прямой m, будем отодвигать от нее прямую l. Поэтому достаточно проверить, что ω_l вписана в Δ_l хотя бы при одном положении прямой l. Но это так, например, когда l совпадает с прямой AB: при этом Δ_l – это треугольник ABD (D н C лежат по разные стороны прямой AB), и нетрудно проверить, что как точка I_l, так и точка I_m совпадают с точкой Ω, диаметрально противоположной точке С.

  Заметим также, что при вращении m вокруг H, прямая m_a вращается вокруг точки H_a, симметричной H относительно BC (эта точка также лежит на Ω, см. задачу 155463); значит, точка I_m пробегает всю окружность Ω.