Олимпиадная задача по планиметрии: равнобедренные треугольники в треугольнике ABC
В треугольнике ABC биссектриса угла C пересекает сторону AB в точке M, а биссектриса угла A пересекает отрезок CM в точке T. Оказалось, что отрезки CM и AT разбили треугольник ABC на три равнобедренных треугольника. Найдите углы треугольника ABC.
Показать ответ
72°, 72° и 36°.
Разобрать решение
Так как сумма углов A и C треугольника ABC меньше, чем 180°, то ∠TAC + ∠TCA < 90°, поэтому угол ATC – тупой (см. рис.).
Значит, в равнобедренном треугольникеATCсторонаACявляется основанием. Тогда ∠TAC = ∠TCA= α, поэтому ∠BAC = ∠BCA= 2α. УголATM– внешний для треугольникаATC, значит, ∠ATM= 2α. ТреугольникATMтакже является равнобедренным. ЕслиT– его вершина, то ∠TMA = ∠TAM= α, тогда сумма углов этого треугольника равна 4α. Но 4α – сумма угловAиCисходного треугольника, то есть меньше 180°. Значит,TM– основание треугольникаATM, а сумма его углов равна 5α. Отсюда α = 36°. ТреугольникCMBтакже оказывается равнобедренным, так как ∠MCB = ∠MBC= 36°.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.