Олимпиадная задача по планиметрии для 10-11 класса — окружность для точек A, N, I₁, I₂

Решение 1:   Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC, а J₁ и J₂ – центры его вневписанных окружностей ω₁ и ω₂, касающихся сторон AB и AC соответственно. Прямая AN является внешней биссектрисой угла A, поэтому точки J₁ и J₂ лежат на ней. Пусть K₁ и K₂ – точки касания ω₁ и ω₂ с прямой BC; прямые NM, J₁K₁ и J₂K₂ перпендикулярны BC. Кроме того,  BK₁ = ½ (AB + AC – BC),  поэтому  MK₁ = ½ (AB + AC) = MK₂.  По теореме Фалеса  NJ₁ = NJ₂.

  ∠J₁BJ₂ = ∠J₁CJ₂ = 90°  как углы между внутренней и внешней биссектрисами. Значит, точки B и C лежат на окружности с диаметром J₁J₂, поэтому  ∠BCJ₁ = ∠BJ₂J₁.  Тогда треугольники IBC и IJ₁J₂ подобны по двум углам, а точки M и N соответственны в этих треугольниках как середины сторон (см. рис.).

  Пусть описанная окружность γ треугольникаAI₁I₂пересекает вторично прямыеCIиBIв точкахP₁иP₂соответственно. ∠I₁P₁I= ∠I₁P₁I₂= ½ ∠A.  С другой стороны,  ∠BIP₁= 90° – ½ ∠A= 90° – ∠I₁P₁I;  значит,  ∠P₁I₁P₂= 90°,  то есть точкиP₁иP₂диаметрально противоположны на γ. Кроме того, прямыеP₁I₁иBJ₁перпендикулярныBJ₂, поэтому  II₁:IP₁=IB:IJ₁,  и точкиI₁иP₁соответственны в треугольникахIBCиIJ₁J₂. Аналогично точкиI₂иP₂также соответственны, откуда  ∠P₁NP₂= ∠I₁MI₂= 90°.  Это значит, что точкаNлежит на окружности с диаметромP₁P₂, то есть на γ. Это и требовалось доказать.

Решение 2:   Прямоугольные треугольники BMN и CMN симметричны относительно MN. Пусть точка I'₂ симметрична I₂ относительно MN. Имеем

∠BMI₁ + ∠BMI'₂ = ∠BMI₁ + ∠CMI₂ = 90° = ∠BMN,  поэтому лучи MI₁ и MI₂' симметричны относительно биссектрисы угла BMN (см. рис.).

  ∠MBI₁+ ∠MBI'₂= ∠MBI₁+ ∠MCI'₂= 90° – ½ ∠ABC= 90° – ½ ∠BNM= ∠MBN,  поэтому лучиBI₁иBI'₂симметричны относительно биссектрисы углаMBN.   Отсюда следует, чтоI₁иI'₂–изогонально сопряжённые точкив треугольникеBMN, а следовательно, и лучиNI₁иNI'₂симметричны относительно биссектрисы углаMNB(см.[задачу 56924](https://mirolimp.ru/tasks/156924)). Значит,  ∠BNM= ∠MNI₁+ ∠MNI₂.  Получаем:  ∠I₁AI₂= ½ ∠BAC= ∠BNM= ∠MNI₁+ ∠MNI₂= ∠I₁NI₂.  Это и означает, что точкиI₁,I₂,A, Nлежат на одной окружности.