Олимпиадная задача по планиметрии для 8–10 классов: угол BFC прямой

  Точки B₁ и C₁ лежат на окружности, построенной на BC как на диаметре (см. рис.). Для решения достаточно доказать, что F также лежит на этой окружности.

  ТочкиB₁иFлежат на окружности с диаметромAP. Поэтому  ∠PFB₁= ∠PAB₁.  Аналогично  ∠QFC₁= ∠QAC₁.  Имеем 180° – ∠B₁FC₁= ∠PFB₁+ ∠QFC₁= ∠PAB₁+ ∠QAC₁= ∠PAQ– ∠A= 90° – ∠A= ∠B₁CC₁.   Таким образом, четырёхугольникCB₁FC₁– вписанный.