Олимпиадная задача по планиметрии: периметр треугольника ABM или ACM, 8-10 класс
Периметр треугольника ABC равен 4. На лучах AB и AC отмечены точки X и Y так, что AX = AY = 1. Отрезки BC и XY пересекаются в точке M. Докажите, что периметр одного из треугольников ABM и ACM равен 2.
Разобрать решение
Поскольку отрезки BC и XY пересекаются, можно считать, что AB > AX и AC < AY. Пусть вневписанная окружность ω исходного треугольника касается стороны BC в точке R, а продолжений сторон AB и AC в точках P и Q соответственно (см. рис.).
Как известно (см. задачу[155483](https://mirolimp.ru/tasks/155483)), отрезкиAPиAQравны полупериметру треугольникаABC, то есть 2. Отсюда следует, чтоXиY– середины этих отрезков. Значит, прямаяXY–радикальная ось(см. задачу[161191](https://mirolimp.ru/tasks/161191)) окружности ω и точкиA. Поэтому AM = MR, и периметр треугольникаACMравен AC + CM + MR = AC + CR = AC + CQ = AQ= 2.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.