Олимпиадная задача по теории чисел от Богданова: остатки сумм (8–10 класс)
Для некоторых 2011 натуральных чисел выписали на доску все их 2011·1005 попарных сумм.
Могло ли оказаться, что ровно треть выписанных сумм делится на 3, и ещё ровно треть из них дают остаток 1 при делении на 3?
Показать ответ
Могло.
Разобрать решение
Рассмотрим, например, числа от 1 до 2011. Среди них 2010 : 3 = 670 чисел делятся на 3, столько же при делении на 3 дают остаток 2, а 671 число даёт остаток 1. Значит, 670·669 : 2 + 670·671 = 335·2011 = 2011·1005 : 3 сумм делятся на три и столько же дают в остатке 1.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.