Олимпиадная задача по планиметрии: ортоцентр треугольника POQ и условие на прямую AC

   Обозначим  ∠OBA = ∠OAB = α,  ∠OBC = ∠OCB = γ;  тогда  ∠ACB = ½ ∠AOB = 90° – α.  Поскольку четырёхугольник BPOQ вписан,  ∠OPQ = α  и ∠OQP = γ.  Пусть OO₁ – высота треугольника OPQ, а H – точка пересечения прямых OO₁ и AC. Без ограничения общности можно считать, точка H лежит на луче CA.

   УголPOH– внешний угол треугольникаPOO₁, поэтому  ∠POH= 90° + α = 180° – ∠HCP.  Значит, четырёхугольникCHOPвписан, и ∠PHO= ∠PCO= γ.  ПустьP₁– точка пересечения прямыхOQиPH. Вновь по свойству внешних углов ∠QP₁H= ∠QPH+ ∠PQO= ∠QPH+ ∠PHO₁= ∠HO₁Q= 90°.  Итак,  PH⊥OQ,  то естьH– ортоцентр треугольникаOPQ.