Олимпиадная задача по планиметрии: отношение площадей в треугольнике, 9–11 класс
Внутри прямоугольного треугольника АВС выбрана произвольная точка Р, из которой опущены перпендикуляры PK и РМ на катеты АС и ВС соответственно. Прямые АР и ВР пересекают катеты в точках A' и B' соответственно. Известно, что SAPB' : SKPB' = m. Найдите SMPA' : SBPA'.
Показать ответ
1/m.
Разобрать решение
SKPB' : SAPB' = KB' : AB', SMPA' : SBPA' = MA' : BA'. Докажем, что эти отношения равны. Для этого достаточно доказать, что KB' : KA = MA' : MB.
Пусть ∠KAP= ∠MPA'= α, ∠MBP= ∠KPB'= β, тогда KB' = KPtg β =KAtg α tg β. Аналогично и MA'=MBtg α tg β. Таким образом, оба отношения равны tg α tg β.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.