Олимпиадная задача Храмцова Д. по планиметрии и комбинаторной геометрии для 8–9 классов: равенство площадей на шахматной доске

Проведём пунктиром вертикальные и горизонтальные линии через центры клеток доски. На получившейся пунктирной сетке каждое звено нашей ломаной соединяет узлы, соседние по вертикали, горизонтали или диагонали. Поэтому пунктирные прямые разбивают область, ограниченную ломаной, на единичные квадратики и половинки квадратиков, получаемые разрезанием их по диагонали. Осталось заметить, что в каждом таком квадратике и в каждом таком треугольнике площади чёрной и белой частей равны. Действительно, каждый квадратик содержит по две четверти клеток обоих цветов, а треугольник – четверть клетки одного цвета и два треугольничка, каждый из которых составляет восьмую часть клетки другого цвета.