Задание олимпиады по математике: сколько n не превосходящих 2012 сумма степеней оканчивается на 0

Решение 1:   Разберём три случая.

  1) n нечётно. Тогда число  1ⁿ + 4ⁿ  нечётно и делится на  1 + 4 = 5.  Следовательно, оно оканчивается на 5. Аналогично на 5 оканчивается число БикЮ 2ⁿ + 3ⁿ.  Значит, данная сумма оканчивается на 0.

  2)  n = 4k + 2.  Тогда число  1ⁿ + 2ⁿ  нечётно и делится на  1² + 2² = 5.  Следовательно, оно оканчивается на 5. Число  3ⁿ + 4ⁿ  также нечётно и делится на  3² + 4² = 25.  Снова наша сумма оканчивается на 0.

  3)  n = 4k.  Последняя цифра чисел  2⁴ и 4⁴  равна 6. Значит, и последняя цифра чисел  2ⁿ = (2⁴)^k  и  4ⁿ = (4⁴)^k  равна 6. Аналогично последняя цифра числа 3ⁿ равна 1. Следовательно, наша сумма оканчивается на 4.

  Среди 2012 последовательных чисел чисел, кратных 4, ровно четверть, то есть 503. А "хороших" чисел  2012 – 503 = 1509.

Решение 2:   Составим таблицу значений последних цифр у каждого слагаемого и у суммы для нескольких начальных значений n.

  При  n= 5  последние цифры у всех слагаемых такие же, как и при  n= 1,  значит общий период повторения последних цифр равен 4. При этом, для каждых четырёх последовательных значенийnровно в трёх случаях сумма оканчивается на 0.   Так как  2012 : 4 = 503,  то искомое количество равно  503·3 = 1509.