Олимпиадная задача по планиметрии: средняя линия равнобокой трапеции, 8–10 класс

  Пусть АВСD – данная трапеция  (AD || BC),  ЕF – её средняя линия, CG – высота (см. рис.). Докажем, что  ЕF = AG.   Первый способ. Построим параллелограмм АВСH.

  ТреугольникDCHравнобедренный, поэтому его высотаCGсовпадает с медианой. Значит,GF– средняя линия треугольникаDCHи параллельнаCH(иАВ). Кроме того,  EF||AG.  Следовательно,АEFG– параллелограмм.  Замечание. На рисунке изображен случай  BC<AD,  но в рассуждениях мы этим ограничением не пользовались.   Второй способ. Пусть  AD = а,  BC = b,  тогда   .   Значит,   .

  Теперь по теореме Пифагора  EF² = AG² = 25² – 15² = 10·40 = 20².