Минимальный путь муравья на тетраэдре: олимпиадная задача по стереометрии для 10-11 классов
Тело в форме тетраэдра ABCD с одинаковыми рёбрами поставлено гранью ABC на плоскость. Точка F – середина ребра CD, точка S лежит на прямой AB, S ≠ A, AB = BS. В точку S сажают муравья. Как должен муравей ползти в точку F, чтобы пройденный им путь был минимальным?
Показать ответ
Минимальный путь состоит из отрезков SP и PF, где P ∈ BC, BP = ⅓ BC.
Разобрать решение
Предположим, что путь муравья проходит через точку M, лежащую на прямой BC. Пусть N – середина ребра AC. Тогда MF = MN. Поэтому
SM + MF = SM + MN.
Пусть прямые SN и BC пересекаются в точке P. Тогда SM + MF = SM + MN ≥ SN. Это значит, что минимальный путь проходит через точку P.
Заметим, что P – точка пересечения медиан треугольника ACS. Следовательно, BP : PC = 1 : 2, BP = ⅓ BC.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.