Олимпиадная задача по планиметрии: перпендикулярность прямых в треугольнике (8–10 класс)
На стороне AC треугольника ABC отмечена точка K, причём AK = 2KC и ∠ABK = 2∠KBC. F – середина стороны AC, L – проекция точки A на BK. Докажите, что прямые FL и BC перпендикулярны.
Разобрать решение
Пусть R – точка, симметричная точке C относительно прямой BL, M – середина CR. Прямые AL и CR параллельны (обе перпендикулярны прямой BL), поэтому MC : AL = CK : AK = 1 : 2 , CR = 2CM = AL , значит, ALCR – параллелограмм.
Точка F – середина диагонали AC этого параллелограмма, а поэтому вторая его диагональ LR проходит через точку F. AR = LC = LR, значит, точка R равноудалена от концов отрезка AL.
Луч BL – биссектриса угла CBR, а по условию ∠ABL = 2∠CBL, поэтому BR – биссектриса угла ABL.
Пусть луч BR пересекает описанную окружность треугольника ABL в точке R1. Тогда R1 – середина дуги AL, не содержащей точки B. Значит, точка R1 лежит на серединном перпендикуляре к хорде AL, а так как серединный перпендикуляр и биссектриса угла ABL пересекаются в точке R и не лежат на одной прямой, то точка R1 совпадает с R.
Таким образом, точки A, B, L и R лежат на одной окружности, а так как ∠ALB = 90°, то и ∠ABR = 90°, то есть прямая AR, а значит, и CL перпендикулярна BR. Следовательно, и симметричные им прямые FL и BC перпендикулярны.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.