Олимпиадная задача по тригонометрии и планиметрии: угол треугольника ABC

Первый способ. Возведём оба равенства в квадрат и сложим. Получим  4 = 2 + 2 (sin A cos B + cos A sin B) = 2 + 2 sin (A + B).  Следовательно,

sin (A + B) = 1,  то есть  A + B = 90°.Второй способ. Сложив исходные равенства, получим  sin (A + 45°) + sin (B + 45°) = 2,  откуда  sin (A + 45°) = sin (B + 45°) = 1.

Следовательно,  A = B = 45°.  Значит,  C = 90°.Третий способ. Перемножив исходные равенства, получим  sin 2A + sin 2B + 2 cos (A – B) = 4,  откуда  sin 2A = sin 2B = cos (A – B) = 1,  то есть

 A = B = 45°.