Олимпиадная задача по планиметрии: угол AMO и угол MAD в параллелограмме

Первый способ. Через точку O проведём прямую, параллельную AD (рис. слева). Она пересечёт стороны AB и CD в их серединах P и Q соответственно. MQ – серединный перпендикуляр к отрезку CD, значит, угол QMP тоже прямой. Итак, MO – медиана прямоугольного треугольника PMQ, проведённая к гипотенузе, поэтому  ∠AMO = ∠PMO = ∠MPO = ∠MAD.

Второй способ. Продолжим отрезокMOза точкуOна его длину и получим точкуK(рис. справа).BMDK– параллелограмм, следовательно,  DK || AB,  поэтому точкаKлежит на прямойCD. MC = MD = BK,  значит,BMCK– равнобокая трапеция. Следовательно,  ∠AMO= ∠BMK= ∠MBC= ∠MAD.