Олимпиадная задача по математике: Сумма произведений на окружности (8-9 класс)

  а) Оценка. Если два соседних произведения равны, то первое число левого равно последнему числу правого, то есть равны числа через 10 мест. Так как 10 и 999 взаимно просты, то шагая по 10, мы обойдём все числа. Но среди чисел есть разные, значит и среди произведений – тоже. Итак, есть хотя бы одно произведение, равное 1.

  Пример, где ровно одно произведение равно 1, а остальные 998 равны –1: если номер числа оканчивается на 9, ставим –1, иначе 1. Тогда единственное положительное произведение – с 999-го места по 9-е.   б) Пример: две минус единицы рядом, остальные числа – единицы. Отрицательными будут только те произведения, куда одна минус единица входит, а другая – нет; а таких ровно два.

  Оценка. Произведение всех 999 произведений равно 10-й степени произведения всех чисел, то есть 1. Значит, среди произведений чётное число минус единиц, то есть не меньше двух.