Олимпиадная задача по планиметрии и комбинаторной геометрии для 10-11 класса
Из N прямоугольных плиток (возможно, неодинаковых) составлен прямоугольник с неравными сторонами. Докажите, что можно разрезать каждую плитку на две части так, чтобы из N частей можно было сложить квадрат, а из оставшихся N частей – прямоугольник.
Разобрать решение
Пусть размеры прямоугольника a×b, a < b и сторона b горизонтальна. Сожмём прямоугольник равномерно по горизонтали так, чтобы стороны стали равны. Получим разбитый на прямоугольники квадрат. Каждая его часть получена сжатием соответствующей плитки по горизонтали в b/a раз. Значит, она имеет меньшую ширину, но ту же высоту, и такую часть можно отрезать от плитки вертикальным разрезом. Оставшая часть плитки получается из неё сжатием по горизонтали в b/b–a раз. Соответственно, из них можно сложить прямоугольник, получающийся из исходного сжатием в b/b–a раз.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.