Олимпиадная задача по планиметрии: найти MN в треугольнике ABC с медианой

Докажем сначала следующее утверждение. Если в треугольник XYZ вписана окружность, а x – расстояние от вершины X до касания окружности со стороной XY и YZ = a, то x = p – a, где p – полупериметр треугольника.Обозначим точки касания вписанной окружности со сторонами XY, YZ и XZ через Z₁, X₁ и Y₁ соответственно. Пусть XZ = b и XY = c. Тогда

Следовательно,

Что и требовалось доказать.Вернёмся к нашей задаче. Окружность, вписанная в треугольник ABD, касается его стороны BD в точке M. По доказанному

Аналогично,

При этом AD = CD. Следовательно,