Олимпиадная задача по планиметрии: найдите площадь трапеции с вписанной окружностью

Пусть окружность с центром O и радиусом r, вписанная в равнобедренную трапецию ABCD, касается оснований AD и BC в точках K и L соответственно, а боковой стороны CD – в точке M. При этом CM = 4, DM = 9.Поскольку CO и DO – биссектрисы углов BCD и ADC, сумма которых равна 180°, угол COD – прямой, поэтому OM – высота прямоугольного треугольника COD, проведённая из вершины прямого угла. Следовательно,

Тогда

а т.к. точки K, O и L лежат на прямой, перпендикулярной основаниям трапеции, то KL – высота трапеции, KL = 2r = 12. Следовательно,