Олимпиадная задача по планиметрии: площадь прямоугольной трапеции с вписанной окружностью

Пусть окружность с центром O и радиусом r, вписанная в прямоугольную трапецию ABCD с основаниями AD и BC и прямыми углами при вершинах A и B, касается оснований AD и BC в точках K и L соответственно, а большей боковой стороны CD – в точке M. При этом CM = 1, DM = 4.Поскольку CO и DO – биссектрисы углов BCD и ADC, сумма которых равна 180°, угол COD – прямой, поэтому OM – высота прямоугольного треугольника COD, проведённая из вершины прямого угла. Следовательно,

Тогда

а т.к. точки K, O и L лежат на прямой, перпендикулярной основаниям трапеции, то KL – высота трапеции, KL = 2r = 4. Следовательно,