Олимпиадная задача по планиметрии для 8-10 классов: площадь четырёхугольника KLNM

У треугольников ABN и ABC общая высота, проведённая из вершины C, поэтому их площади относятся как основания, значит, $$S_{ABN} = \frac{AN}{AB} \cdot S_{ABC} = \frac45 \cdot 1 = \frac45.$$

Аналогично, $$S_{ANL} = \frac{AL}{AB} \cdot S_{ABN} = \frac23 \cdot \frac45 = \frac{8}{15},$$ $$S_{ANK} = \frac{AK}{AB} \cdot S_{ABN} = \frac13 \cdot \frac45 = \frac4{15},$$ $$S_{AKM} = \frac{AM}{AN} \cdot S_{ANK} = \frac14 \cdot \frac4{15} = \frac1{15}.$$

Следовательно, $$S_{KLNM} = S_{ALN} - S_{AKM} = \frac8{15} - \frac1{15} = \frac7{15}.$$