Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 класса: две касающиеся окружности и хорды
Две окружности касаются внешним образом: друг друга в точке A , а третьей окружности — в точках B и C . Продолжение хорды AB первой окружности пересекает вторую окружность в точке D , продолжение хорды AC пересекает первую окружность в точке E , а продолжения хорд BE и CD — третью окружность в точках F и G соответственно. Найдите BС , если BF=12и BG=15.
Показать ответ
Разобрать решение
Пусть S1, S2и S3— первая, вторая и третья окружности соответственно. Проведём через точки A , B и C общие касательные la , lb , lc к окружностям S1и S2, S1и S3, S2и S3соответственно. Тогда касательные la и lb образуют равные углы с хордой AB . Обозначим эти углы через γ . Аналогично, равные углы, которые образуют касательные la и lc с хордой AC , обозначим через β , а равные углы, которые образуют касательные lb и lc с хордой BC , — через α . Тогда сумма2α+2β+ 2γ — это сумма углов треугольника ABC , поэтому α+β+γ=90o . На касательной la отметим точку P внутри угла DAE и точку Q внутри угла BAC . Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
BEC = BEA = BAQ = PAD = ACD =
ECD,
значит, BE || CD , а т.к.
BCD = ACB+ ACD=
α+β + γ = 90o,
то BCG = 90o , поэтому четырёхугольник BCGF —
прямоугольник. Следовательно,
BC = 
=
=
=9.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.