Олимпиадная задача по планиметрии: прямая Гаусса для четырёхугольника
Продолжения противоположных сторон AB и CD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P , а продолжения сторон BC и AD — в точке Q . Докажите, что середины диагоналей AC и BD , а также середина отрезка PQ лежат на одной прямой (прямая Гаусса}.
Разобрать решение
Пусть K , L и M — середины AC , BD и PQ соответственно, а точки P1, A1и D1— середины сторон соответственно AD , DP и AP треугольника APD . Тогда точки D1, K и P1— лежат на одной прямой — средней линии треугольника APD . Аналогично, точки A1, L , P1лежат на одной прямой и точки D1, M , A1лежат на одной прямой. Применив теорему Менелая к треугольнику APD и прямой BQ , получим, что
· 
· 
=1,
а т.к.
=
,
=
,
=
,
то
· · =
· · =1.
Следовательно, по теореме, обратной теореме Менелая (треугольник A1D1P1), точки K , L и M лежат на одной прямой.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.