Олимпиадная задача по показателям и логарифмам 11 класс — максимизация перестановки

Пусть a₁, a₂, ..., a₂₀₁₁ — искомая расстановка чисел. Нетрудно видеть, что тогда должно быть выполнено равенство a₂₀₁₁ = 1, так как иначе выражение из условия задачи можно было бы увеличить, поменяв между собой местами числа a_k = 1 (k ≠ 2011) и a₂₀₁₁ .Сравним два числа и , где a, b и c — некоторые натуральные числа, причём a ≠ b, a ≥ 2 и b ≥ 2. Так как функция y = ln x монотонно возрастает при всех x > 0, то разность – имеет тот же знак, что и разность

Найдём промежутки монотонности функцииy=x ^{– c}lnx. Имеем

Так какy'>0 при 0< x < e^1/cиy'<0 приx > e^1/c, то функцияy=x ^{– c}lnxвозрастает на промежутке 0< x < e^1/cи убывает на промежуткеx > e^1/c.При c = 1, учитывая неравенство 3 > e, отсюда получаем

Значит,a ^{– 1}lna > b ^{– 1}lnb, если 3 ≤a < b. Следовательно,a^b1> b^a1при 3 ≤a < b. Приc≥ 2 имеем 1< e^1/c <2. Поэтому при таких значенияхcполучаем, что

Тогдаa ^{– c} lna > b ^{– c}lnbиa^bc> b^{a c}при 2 ≤a < b.Докажем по индукции, что для искомой расстановки чисел и всех n = 1, 2, ..., 2010 имеет место равенство a_{2011 – n} = 2012 – n. Пусть сначала n = 1. Если 2011 = a_k, где k ≤ 2009, то 2 ≤ a_k+1 < a_k и, по доказанному выше, a_k^{ak+1 c} < a _k+1^akc при всех натуральных c. Поэтому выражение из условия задачи можно увеличить, поменяв между собой местами числа a_k = 2011 и a_k+1. Полученное противоречие означает, что a₂₀₁₀ = 2011. Аналогичными рассуждениями доказываются и следующие шаги индукции: считая уже доказанным равенство a_{2011 – n} = 2012 – n при некотором натуральном n ≤ 2007 и предполагая, что a_{2011 – (n + 1)} ≠ 2012 – (n + 1), приходим к противоречию, так как по доказанному выше a_k^{ak + 1c} < a _k+1^akc при 2012 – (n + 1) = a_k, где k ≤ 2011 – (n + 2). Значит, a₃ = 4, a₄ = 5, ..., a₂₀₁₀ = 2011 и a₂₀₁₁ = 1. Для доказательства того, что a₁ = 2 и a₂ = 3, заметим, что при c = 4^5...2011 > 2 имеет место неравенство 2^3c > 3^2c. Следовательно, выражение из условия задачи будет наибольшим при a₁ = 2, a₂ = 3, ..., a₂₀₁₀ = 2011 и a₂₀₁₁ = 1.