Олимпиадная задача по планиметрии: угол PKА и угол QKD в трапеции для 9-10 классов
В трапеции ABCD с основаниями AD и BC лучи AB и DC пересекаются в точке K. Точки P и Q – центры описанных окружностей треугольников ABD и BCD. Докажите, что ∠PKA = ∠QKD.
Разобрать решение
Заметим, что ∠ADB = ∠DBC (см. рис.). С другой стороны, ∠APB = 2∠ADB. Аналогично ∠DQC = 2∠DBC, а значит, ∠APB = ∠DQC.
Следовательно, равнобедренные треугольникиAPBиDQCподобны. Поэтому ∠KAP= ∠KDQ и AP:DQ = AB:DC. Вместе с тем из теоремы о пропорциональных отрезках AK:DK = AB:DC, поэтому треугольникиAPKиDQKподобны по двум сторонам и углу между ними. Значит, ∠PKA= ∠QKD.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.