Математическая задача про Петра и Павла: сравнение возрастов, олимпиадная задача

  Пусть Пётр и Павел родились в  18xy  и  19uv  году соответственно. Во время их встречи Петру и Павлу было  1 + 8 + x + y  и  1 + 9 + u + v  лет соответственно. Определим двумя способами год, в котором произошла встреча. Поскольку возраст Петра на тот момент был равен сумме цифр его года рождения, встреча произошла в  1800 + 10x + y + 9 + x + y  году. С другой стороны, и возраст Павла был равен сумме цифр его года рождения, а значит, встреча произошла в  1900 + 10u + v + 10 + u + v  году. Итак,  1800 + 10x + y + 9 + x + y = 1900 + 10u + v + 10 + u + v.

  После упрощений уравнение преобразуется к виду  11(x – u) + 2(y – v) = 101. Перепишем его в виде  11(x – u) + 2(y – v – 1) = 99.

  Отсюда видно, что  y – v – 1  делится на 11. Так как  –9 ≤ y – v ≤ 9,  то  y – v = 1.  Следовательно,  x – u = 9.  Павел старше Петра на

1900 + 10u + v – 1800 – 10x – y = 100 – 10(x – u) – (y – v) = 100 – 90 – 1 = 9 лет.

  Надо разобрать ещё два случая: Пётр мог родиться в 1900 году (который тоже относится к XIX веку), или Павел в 2000 году. В первом случае встреча состоялась бы в 1910 году, значит, Павел родился не раньше 1901 и не позже 1910 года, и ему по условию задачи в момент встречи не могло быть меньше 11 лет. Противоречие.

  Во втором случае встреча состоялась бы в 2002 году, и Петру на тот момент было бы не меньше 102 лет, чего также не может быть, так как сумма цифр любого целого числа от 1801 до 1900 не больше 27.